等比数列の和の公式の証明：数列

等比数列の和の公式

初項a, 公比r, の等比数列の初項から第n項までの和を とすると, のとき

   

のとき

   

等比数列の和の公式の証明/ポイント

のとき

   

は次のようにして, 証明できます。

   

   

   

   

   

となるので, に注意して両辺を(1-r) で割ると

   

となり, 示したかった式が出てきます。

r=1のとき 単純にすべての項がa になるので

   

となります。

考え方のポイントは等比数列のA番目の項は(A-1)番目の項に公比r をかけたものと同じ値になるということです。
ただし, 注意すべきことは公比がr=1 の時は(1-r)=0となり割ることができないことです。
しかし, 上記のように公比がr=1 の時はすべての項がa になるので, そのまま和をとることで計算できます。

等比数列の和の公式の例題

問題

初項5, 公比2, の等比数列の初項から第10項までの和を求めなさい。

解答

等差数列の和の公式より

   

となります。

参考

「新課程チャート式 基礎からの数学Ⅱ＋B チャート研究所編著 数研出版」