三角方程式が解を持つとき、文字の条件を決定するポイント：図形と計量

2016/3/1 2016/3/5 図形と計量, 数学, 数学Ⅰ, 鈍角の三角比

文字定数が含まれる三角方程式が、解を持つような文字定数の値の範囲を求める問題です。
解の存在を確かめる問題なので、判別式を利用します。
$\theta$ の値の範囲から三角比の値の範囲を求め、その値が解に含まれる条件を求めます。

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文字の条件を決定する問題

方程式 $sin^2x-2a sinx+4a=0$ が $0 \leqq x<180$ の範囲で解を持つような
定数 $a$ の値の範囲を求めなさい。

三角方程式が解を持つときの解法の手順

xの値の範囲から $sinx$ の値の範囲を求めます。
$sinx=s$ と置き換えます。
置き換えた方程式について、 $a$ を含む項と含まない項に分けます。
$a$ を含む項によって表される図形と、含まない項によって表される図形が交点を持つ条件を求めます。

文字の条件を決定する問題の解説

まずは、 $x$ の値の範囲から $sinx$ の値の範囲を求めます。
$0 \leqq x<180$ なので、 $0 \leqq sinx \leqq 1$ となります。
$sinx=s$ と置き換えると与方程式は

$s^2-2as+4a=0$

となります。この方程式について、 $a$ を含む項を右辺に移項すると

$s^2=2as-4a$

より

$s^2=2a(s-2)$

となり、方程式 $s^2-2as+4a=0$ が $0 \leqq s \leqq 1$ の範囲に解を持つことは、
放物線 $y=s^2$ が直線 $y=2a(s-2)$ と $0 \leqq s \leqq 1$ の範囲で交わることと同値となります。
$0 \leqq s \leqq 1$ の範囲でこの2つが交わる $a$ の値の範囲は、

関数の位置関係

直線 $y=2a(s-2)$ が点 $(1,1)$ を通る①に重なるときと、s軸に一致するときの間となります。
①に重なるとき、 $(1,1)$ を代入して $a=-\dfrac{1}{2}$
s軸に一致するとき、傾きが0になるので $a=0$
よって、

$-\dfrac{1}{2} \leqq a \leqq 0$

が求める範囲となります。
判別式とグラフの軸の位置を用いても求めることができますが、
このようにグラフを利用すると簡単に求められます。

参考

チャート式　数研出版

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