指数不等式の解法ポイント：指数関数

指数不等式の解法ポイント

指数不等式 $\left( \dfrac{1}{125} \right)^x>\left( \dfrac{1}{25} \right)^{ 3-x }$ を解きなさい。

まずは指数の底を揃えます。 $125=5^3,25=5^2$ であることから、与不等式は

$\left( \dfrac{1}{5^3} \right)^x>\left( \dfrac{1}{5^2} \right)^{3-x }$

$\biggl (\left( \dfrac{1}{5} \right)^3 \biggr)^x>\biggl (\left( \dfrac{1}{5} \right)^2 \biggr)^{3-x }$

$\left( \dfrac{1}{5} \right)^{3x}>\left( \dfrac{1}{5} \right)^{2\left( 3-x \right)}$

$\left( \dfrac{1}{5} \right)^{3x}>\left( \dfrac{1}{5} \right)^{6-2x}$

と変形できます。ここで、 $0<\dfrac{1}{5}<1$ なので、 $\left( \dfrac{1}{5} \right)^n$ の値は $n$ が大きくなるほど小さくなります。

よって、不等式 $\left( \dfrac{1}{5} \right)^{3x}>\left( \dfrac{1}{5} \right)^{ 6-2x}$ が成り立つのは

$3x<6-2x$

のときとなり、この不等式を解くと $5x<6$ より

$x<\dfrac{6}{5}$

が得られます。