二次関数の頂点の求め方の公式(y=ax^2+bx+c ):二次関数

スポンサーリンク

二次関数の頂点の求め方の公式

y=ax^2+bx+c の頂点は

\[\begin{eqnarray<em>} (-\dfrac{b}{2a},~-\dfrac{b^2-4ac }{4a }) \end{eqnarray</em>}\]

二次関数の頂点の求め方の解説/ポイント

二次関数の式を次のように平方完成します。

\[\begin{eqnarray<em>} y &=& ax^2+bx+c \end{eqnarray</em>}\]

\[\begin{eqnarray<em>} &=& a(x^2+x \dfrac{b}{a})+c \end{eqnarray</em>}\]

\[\begin{eqnarray<em>} &=& a{x^2+2x \dfrac{b}{2a}+( \dfrac{b}{2a})^2 }-a(\dfrac{b}{2a})^2+c \end{eqnarray</em>}\]

\[\begin{eqnarray<em>} &=& a{x^2+2x \dfrac{b}{2a}+( \dfrac{b}{2a})^2 }-\dfrac{b^2}{4a}+c\end{eqnarray</em>}\]

\[\begin{eqnarray<em>} &=& a(x+\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{b^2-4ac }{4a } ~(=T~とおく) \end{eqnarray</em>}\]

ここでたとえば, a>0 とすると,

y=ax^2+bx+c のグラフ nijikansu

このT はa(x+\dfrac{b}{2a})^2=0のとき, つまりx=-\dfrac{b}{2a} で最小値をとります。
このとき, Tの最小値は

\[-\dfrac{b^2-4ac }{4a }\]

となります。 このことから, y=ax^2+bx+c のグラフの頂点が

\[(-\dfrac{b}{2a},~-\dfrac{b^2-4ac }{4a })\]

となることがわかります。
同様にしてa<0のときも, グラフの頂点が

\[(-\dfrac{b}{2a},~-\dfrac{b^2-4ac }{4a })\]

となることがわかります。
覚えるときに符号を間違えないように注意してください。

二次関数の頂点の求め方の例題

問題

グラフy=x^2+4x+7の頂点を求めなさい。

解答

まず与えられた式を平方完成すると,

\[\begin{eqnarray<em>} y &=& x^2+4x+7 \end{eqnarray</em>}\]

\[\begin{eqnarray<em>}&=& (x^2+4x)+7 \end{eqnarray</em>}\]

\[\begin{eqnarray<em>}&=& {x^2+4x+2^2 }-2^2+7 \end{eqnarray</em>}\]

\[\begin{eqnarray<em>}&=& (x+2)^2-2^2+7 \end{eqnarray</em>}\]

\[\begin{eqnarray<em>}&=& (x+2)^2+3 \end{eqnarray</em>}\]

となるので頂点は(-2, 3) となります。

参考

「数学Ⅰ 大島 利雄著 数研出版」

スポンサーリンク

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする

スポンサーリンク