Σ（シグマ）の２乗公式の証明：数列

2015/9/13 2016/3/13 数列, 数学, 数学B

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Σ（シグマ）の２乗公式

n までの正の整数を各々2乗したもの $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \dots ,n^2$ の和 $S_n$ はつぎのようにかけます。

$S_n= \sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{1}{6} n(n+1)(2n+1)$

Σ（シグマ）の２乗公式の証明の解説/ポイント

これは恒等式

$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$

の両辺を $k=1, 2, 3, \dots n$ として各々足していくことで示していきます。

まず, 左辺については

$\begin{eqnarray<em>} \sum_{k=1}^{n} {(k+1)^3-k^3} \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} &=& {(1+1)^3-1^3}+{(2+1)^3-2^3}+{(3+1)^3-3^3}+\dots +{(n+1)^3-n^3} \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} &=& -1^3+(n+1)^3 \end{eqnarray</em>}$

と書けます。

右辺については整数の和の公式を用いて,

$\begin{eqnarray<em>} \sum_{k=1}^{n} (3k^2+3k+1)\end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} &=& 3\sum_{k=1}^{n} k^2+3\sum_{k=1}^{n} k +\sum_{k=1}^{n} 1 \ \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} &=& 3\sum_{k=1}^{n} k^2+3\dfrac{1}{2} n(n+1) + n \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} &=& 3\sum_{k=1}^{n} k^2+\dfrac{3n^2+5n}{2} \end{eqnarray</em>}$

よって, 以上のことから

$\begin{eqnarray<em>}-1^4+(n+1)^4 &=& 4\sum_{k=1}^{n} k^3+n(2n^2+5n+4) \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}-1^4+(n+1)^4 - n(2n^2+5n+4) &=& 4\sum_{k=1}^{n} k^3 \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}n^2(n+1)^2 &=& 4\sum_{k=1}^{n} k^3 \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}\dfrac{ n^2(n+1)^2}{4} &=& \sum_{k=1}^{n} k^3 \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}\left{ \dfrac{1}{2} n(n+1) \right}^2 &=& \sum_{k=1}^{n} k^3\end{eqnarray</em>}$

と, 求めたい式が出てきました。

Σ（シグマ）の２乗公式の例題

問題

次を計算しなさい。

$\begin{eqnarray<em>} \sum_{k=1}^{10} k^2 \end{eqnarray</em>}$

解答

シグマの公式より

$\begin{eqnarray<em>} \sum_{k=1}^{10} k^2 \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}&=& \dfrac{10(20+1)(10+1)}{6} \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}&=& 385 \end{eqnarray</em>}$

となります。

参考

「数学B　坪井　俊著　数研出版」

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