定義域内での最大値・最小値から二次関数を求める問題のポイント

2016/3/2 2016/3/5 二次関数, 数学, 数学Ⅰ, 関数とグラフ

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定義域内での最大値・最小値から二次関数を求めるポイント

定義域内での最大値と最小値が与えられた場合に、それを利用して二次関数を求める問題です。
定義域の端ではない部分で最大値または最小値をとる $x$ の値に着目します。

二次関数の決定問題

定義域が $-2\leqq x\leqq 2$ のとき、 $x=-1$ で最小値 $－5$ をとり、最大値 $13$ をとる二次関数を求めなさい。

定義域内での最大値・最小値から決定する解法の手順

定義域の端ではない部分での最大値、または最小値から頂点を求めます。
頂点の座標から二次関数の式を $y=a (x-p)^2+q$ の形で表します。
もう一方の値をとる $x$ の値を求めます。
$x$ ともう一方の値から $a$ の値を求めます。

二次関数の決定問題の解説

定義域の端ではない $x=-1$ のときに最小値 $－5$ をとるので、頂点は $(-1,-5)$ となります。
よって、求める二次関数は $y=a\Bigl(x-(-1)\Bigl)^2-5$ 、すなわち $y=a(x+1)^2-5$ と表せます。
また、頂点の位置で最小値をとるので $a>0$ となります。

次に、最大値 $13$ をとる $x$ の値を求めます。
$a>0$ より、この二次関数は軸である $x=-1$ から離れるほど $y$ の値は大きくなります。

よって、最大値 $13$ をとるのは $x=2$ のときとなります。
$x=2$ と $y=13$ を $y=a(x+1)^2-5$ に代入して、

$13=a(2+1)^2-5$

より

$18=9a$

$a=2$

よって、求める二次関数は
$y=2(x+1)^2-5$ すなわち $y=2x^2+4x-3$ と求められます。

参考

数学1教科書　数研出版

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