ベクトルの内積の定義と公式：平面上のベクトル

ベクトルの内積の定義と公式

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積を次のように定義します。
ただし, 二つのベクトルのなす角を $\theta$ とします。

$\begin{eqnarray} \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| cos\theta \end{eqnarray}$

　まずは, この定義は重要なので覚えましょう。

内積のベクトル表記の解説図　

2つのベクトルの始点を点Oにあわせると上の図のように書き表せます。

この時半直線OAとOBのなす角 $\theta$ のうち $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ となるものを,
ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角と呼びます。
また,内積の記号は $''\cdot''$ を用いて書きます。

たとえば $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積は

$\vec{a} \cdot \vec{b}$

と表します。

$\vec{a}$ と $c\vec{a}$ の内積を求めなさい。

$\vec{a}$ と $c\vec{a}~( c>0)$ のなす角は0になることに注意して,
内積の定義より

$\begin{eqnarray} \vec{a} \cdot c\vec{a} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} = |\vec{a}|| c\vec{a}| cos0 \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} = |\vec{a}|| c\vec{a}| \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} = c|\vec{a}|^2 \end{eqnarray}$

となります。

「数学B　坪井　俊著　数研出版」