円錐の表面積の公式の求め方:中学数学

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円錐の表面積の公式

底面が半径rの円錐 円錐の表面積の公式

図のような半径r の円を底面として母線がT の円錐の表面積S は

\[\begin{eqnarray<em>} S=\pi (r+T)r \end{eqnarray</em>}\]

と書けます。
ただし, πは円周率を指します。

円錐の表面積の公式の解説/ポイント

底面が半径rの円錐の展開図 円錐の表面積の公式2

円錐の展開図は上図のようになります。まずポイントとなるのは扇の∠BACの大きさです。
半径r の円の円周と円弧BCの長さが一致するので

\[\begin{eqnarray<em>} 2r\pi = 2T\pi \dfrac{∠BAC}{360^{\circ} } \end{eqnarray</em>}\]

となります。つまり,

\[∠BAC=\dfrac{r}{T}360^{\circ}\]

であるので,扇部分ABCの面積をFとすると

\[\begin{eqnarray<em>}F=T^2\pi \dfrac{\dfrac{r}{T} 360^{\circ}}{360^{\circ}}\end{eqnarray</em>}\]

\[\begin{eqnarray<em>}F=Tr\pi \end{eqnarray</em>}\]

となります。 また残る半径r の円の面積はr^2 \piなので,
求める表面積Sは

\[\begin{eqnarray<em>}S= Tr\pi + r^2\pi \end{eqnarray</em>}\]

\[\begin{eqnarray<em>}S= \pi (r + T) r\end{eqnarray</em>}\]

となります。

円錐の表面積の公式の例題

問題

円錐の例 円錐の表面積の公式3

半径3 の円を底面として母線が5 の円錐の表面積Sを求めなさい。

解答

円錐の表面積の公式より

\[S= \pi (3+5)3 = 24 \pi\]

となります。

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