二次関数の最大値・最小値の解法ポイント（文字定数を含む場合）：二次関数

2016/3/2 2016/3/5 2次関数と方程式・不等式, 二次関数, 数学

文字定数を含む二次関数の最大値・最小値について、定数の値が変化するときの最大値・最小値を求める問題です。
平方完成で得られる最大値・最小値について、さらに平方完成をすることで求められます。
多変数の二次関数でも、同様の手順で最大値・最小値が求められます。

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二次関数の最大値・最小値の問題

$a$ を定数とする。 $x$ の二次関数 $f(x)=x^2-2ax+2a^2-4a+6$ の最小値 $m(a)$ の最小値を求めなさい。

文字定数を含む場合の解法の手順

平方完成をして最小値 $m(a)$ を求めます。
$m(a)$ を $a$ の二次関数と考え、平方完成をして最小値を求めます。

二次関数の最大値・最小値の問題の解説

最大値・最小値に関する問題なので、まずは平方完成をします。
2種類の文字が含まれていますが、 $x$ の二次関数なので $x$ について平方完成をします。

$f(x)=x^2-2ax+2a^2-4a+6$

$=(x^2-2ax+a^2 )-a^2+2a^2-4a+6$

$=(x-a)^2+a^2-4a+6$

となるので、二次関数 $f(x)$ は

$x=a$ のとき最小値

$a^2-4a+6$

をとります。

よって、 $m(a)=a^2-4a+6$ となります。

$m(a)$ は $a$ の二次関数になっているので、その最小値も平方完成をすることで求められます。

$m(a)=a^2-4a+6$

$=(a^2-4a+4)-4+6$

$=(a-2)^2+2$

となるので、 $m(a)$ の最小値は $a=2$ の時に $2$ をとります。

多変数関数の場合も、1つの文字を定数と考え、平方完成を繰り返すことで求められます。

参考

チャート式　数研出版

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