二次不等式の解法ポイント(文字定数を含む場合):数と式

  • 文字定数が含まれる二次不等式を解く問題です。
  • 通常の不等式と同様に因数分解をして解きますが、場合分けが必要になります。

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二次不等式の問題

不等式x^2-(a+1)x+a<0を解きなさい。ただしaは定数とします。

二次不等式の解法の手順

  1. 左辺を因数分解します。
  2. できた因数の、定数項の大小関係によって場合分けをします。
  3. それぞれの場合について不等式を解きます。

二次不等式の解説

通常の不等式と同様に因数分解をすると、

\[(x-a)(x-1)<0\]

となります。
問題の中でaに関する条件が定められていないので、因数分解によってできた定数項である
aと1の大小関係によって場合分けをします。

(1)a<1のとき、
(x-a)(x-1)<0を満たすxの範囲はa<x<1となります。

(2)a=1のとき、
(x-a)(x-1)(x-1)(x-1)=(x-1)^2となります。
(x-1)^2\geqq 0 (等号成立はx=1のとき)なので、不等式(x-1)^2<0は解なしとなります。

(3) a>1のとき、
(x-a)(x-1)<0を満たすxの範囲は1<x<aとなります。

以上をまとめて、解は

a<1のとき a<x<1

a=1のとき なし

a>1のとき 1<x<a

参考

チャート式 数研出版

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