平方根（ルート）の整数部分と小数部分の値を求める際のポイント：数と式

2016/3/2 2016/3/5 実数, 数と式, 数学, 数学Ⅰ

平方根を含む数の、整数部分と小数部分を求める問題です。
$~\sqrt[]{\mathstrut n^2}< ~\sqrt[]{\mathstrut x}< ~\sqrt[]{\mathstrut (n+1)^2}$ のとき、 $~\sqrt[]{\mathstrut x}$ の整数部分は $n$ 、小数部分は $~\sqrt[]{\mathstrut x}-n$ となります。
和・差はそのままずらしますが、整数倍は根号の中に入れて考えます。

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平方根（ルート）の整数部分と小数部分の値を求める問題

$2 ~\sqrt[]{\mathstrut 7}+1$ の整数部分と小数部分を求めなさい。

整数部分と小数部分の値を求める解法の手順

$2 ~\sqrt[]{\mathstrut 7}$ の2を根号の中に入れます。
根号で表された数を挟む2数を求めます。
2数のうち、小さい方が根号で表された数の整数部分となります。
3で求めた数に1を加えたものが元の数の整数部分となります。
(元の数)-(整数部分)=(小数部分)となることを用いて小数部分を求めます。

平方根（ルート）の整数部分と小数部分の値を求める問題の解説

まず、 $2 ~\sqrt[]{\mathstrut 7}$ の整数部分を求めます。
$~\sqrt[]{\mathstrut 4}< ~\sqrt[]{\mathstrut 7}< ~\sqrt[]{\mathstrut 9}$ より $2< ~\sqrt[]{\mathstrut 7}<3$ なので $~\sqrt[]{\mathstrut 7}$ の整数部分は2ですが、これを2倍すると
$4<2 ~\sqrt[]{\mathstrut 7}<6$ となってしまい、整数部分がうまく求められません。
よって、 $2 ~\sqrt[]{\mathstrut 7}= ~\sqrt[]{\mathstrut 28}$ とすることで整数部分を求めます。

$~\sqrt[]{\mathstrut 25}< ~\sqrt[]{\mathstrut 28}< ~\sqrt[]{\mathstrut 36}$

より

$5< ~\sqrt[]{\mathstrut 28}<6$

なので、 $2 ~\sqrt[]{\mathstrut 7}= ~\sqrt[]{\mathstrut 28}$ の整数部分は $5$ となります。

よって、 $2 ~\sqrt[]{\mathstrut 7}+1$ の整数部分は $5+1=6$

次に、小数部分を求めます。
小数部分は、 $~\sqrt[]{\mathstrut 2}=1.41421356 \dots$ であれば1の位の数である1を除いた $0.4142135 \dots$ の部分を表します。これは、元の数から整数部分を引くことで求められます。

$2 ~\sqrt[]{\mathstrut 7}+1$ の整数部分は6なので、
小数部分は

$2 ~\sqrt[]{\mathstrut 7}+1-6=2 ~\sqrt[]{\mathstrut 7}-5$

となります。

参考

チャート式　数研出版

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