等比数列の公式（一般項）の証明：数列

2015/9/13 2016/3/5 数列, 数学, 数学B

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等比数列の公式

初項a,公比r の等差数列 ${a_n}$ の一般項は

$\begin{eqnarray<em>} a_n=ar^{n-1} \end{eqnarray</em>}$

とかけます。

等比数列の公式（一般項）の証明の解説/ポイント

等比数列 ${a_n}$ は初項a,公比r の数列なので, 公比が各々の隣り合う項の比つまり,

$\begin{eqnarray<em>} r=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{a_4}{a_3}= \dots \end{eqnarray</em>}$

をみたすことから,

$\begin{eqnarray<em>} a_1\end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}=a \ a_2 \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}=&a_1 \times \dfrac{a_2}{a_1} \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}=&a \times r \ a_3 \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}=&a_1 \times \dfrac{a_2}{a_1} \times \dfrac{a_3}{a_2} \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}=&a \times r^2 \ a_4 \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}=&a_1 \times \dfrac{a_2}{a_1} \times \dfrac{a_3}{a_2} \times \dfrac{a_4}{a_3} \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}=&a \times r^3 \end{eqnarray</em>}$

となります。同様にすると一般のn に対して,

$\begin{eqnarray<em>} a_n \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}=&a_1 \times \dfrac{a_2}{a_1} \times \dots \times \dfrac{a_{n}}{a_{n-1}} \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}=&a \times r^{n-1} \end{eqnarray</em>}$

となります。

等比数列の公式の例題

問題

初項1, 公差2の等比数列の一般項を求めなさい。

解答

初項a=1, 公比r=2 の等比数列になっていることに注意すると,一般項の公式より

$a_n$

$=ar^{n-1}$

$=1 \times 2^{n-1}$

$=2^{n-1}$

となります。

参考

「数学B　坪井　俊著　数研出版」

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