等差数列の公式の証明：数列

2015/9/13 2016/3/5 数列, 数学, 数学B

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等差数列の公式

初項a,公比r の等差数列 ${a_n}$ の一般項は

$\begin{eqnarray<em>} a_n=a+d(n-1) \end{eqnarray</em>}$

等差数列の公式の証明解説/ポイント

公差が各々の隣り合う項の差
つまり,

$\begin{eqnarray<em>} d=a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3= \dots \end{eqnarray</em>}$

をみたすことから, 一般のn に対して,

$\begin{eqnarray<em>} a_n\end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}=a_1+(a_2-a_1 )+(a_3-a_2 )+ \dots +(a_n-a_{n-1})\end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}=a+(n-1)d \end{eqnarray</em>}$

となります。

等差数列の公式の例題

問題

等差数列

$\begin{eqnarray<em>} 100,99,98,97,96,95,94,93,92,91,\dots \end{eqnarray</em>}$

の一般項を求めなさい。

解答

初項は a=100 になっています。また, 各々の項の差は

$\begin{eqnarray<em>} 99-100\end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} =98-99\end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} =97-98\end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} =\dots \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} =-1 \end{eqnarray</em>}$

となるので, 公差は-1 になります。
ここで、公差を求めるときは項の番号が大きいほうから番号の小さいほうを引く, つまり $a_k$ から $a_{k-1}$ をひくことに注意しましょう。
このことから, 初項 a=100, 公差d=-1 の等差数列になっているので, 一般項の公式より

$a_n$

$=a+d(n-1)$

$=100-(n-1)$

$=101-n$

となります。

よって一般項は

$\begin{eqnarray<em>} a_n=101-n \end{eqnarray</em>}$

となります。

参考

「数学B　坪井　俊著　数研出版」

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