√（ルート）を含む足し算・引き算の公式：数と式

2015/9/11 2016/3/13 数と式, 数学, 数学Ⅰ

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√（ルート）を含む足し算・引き算の公式

a>0, b, c, d, eは実数に対して,

$\begin{eqnarray<em>} b~\sqrt[]{\mathstrut a} + c~\sqrt[]{\mathstrut a} = (b+c)~\sqrt[]{\mathstrut a} \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} d~\sqrt[]{\mathstrut a} - e~\sqrt[]{\mathstrut a} = (d-e)~\sqrt[]{\mathstrut a} \end{eqnarray</em>}$

が, 成り立ちます。

√（ルート）を含む足し算・引き算の公式の証明/ポイント

ルートを含む足し算と引き算をするときに見るべきポイントは,ルートの中身が同じ値にできるかどうかということです。
たとえば,

$2~\sqrt[]{\mathstrut 13} + 3~\sqrt[]{\mathstrut 7}$

のようにルートの中身が異なるものの足し算や引き算はこれ以上整理することができません。
ただし, 注意しなければならないことは「ルートを含む掛け算・割り算の方法」で紹介するように,

$~\sqrt[]{\mathstrut {k^2a}} = k~\sqrt[]{\mathstrut a}$

と計算できることです。
たとえば,

$2~\sqrt[]{\mathstrut 27} - 5~\sqrt[]{\mathstrut 3}$

を計算するとき, ルートの中身は異なりますが,

$~\sqrt[]{\mathstrut 27} = 3~\sqrt[]{\mathstrut 3}$

となるので, 実はうまく計算できます。よって,

$~\sqrt[]{\mathstrut 27} - 2~\sqrt[]{\mathstrut 3}$

$= 3~\sqrt[]{\mathstrut 3} - 2~\sqrt[]{\mathstrut 3}$

$= (3-2)~\sqrt[]{\mathstrut 3}$

$= ~\sqrt[]{\mathstrut 3}$

と計算できます。

√（ルート）を含む足し算・引き算の例題

問題

$~\sqrt[]{\mathstrut 125} + 3 ~\sqrt[]{\mathstrut 5}$ を計算しなさい。

解答

そのままではルートの中身が異なるため計算することはできません。
しかし, $125=5 \times 5^2$ と書けるので, $~\sqrt[]{\mathstrut 125} =5~\sqrt[]{\mathstrut 5}$ とできます。
このことから

$~\sqrt[]{\mathstrut 125} + 3 ~\sqrt[]{\mathstrut 5}$

$= 5~\sqrt[]{\mathstrut 5} + 3 ~\sqrt[]{\mathstrut 5}$

$= (5+3)~\sqrt[]{\mathstrut 5}$

$= 8~\sqrt[]{\mathstrut 5}$

となります。

参考

「数学Ⅰ　大島　利雄著　数研出版」

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