点と直線の距離の公式の証明:図形と方程式

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点と直線の距離の公式

点A(x_1, y_1) と直線B;ax+by+c=0 の距離は

\[\begin{eqnarray<em>} \dfrac{|ax_1+by_1+c|}{~\sqrt[]{\mathstrut a^2+b^2}} \end{eqnarray</em>}\]

となります。

点と直線の距離の公式の証明の解説/ポイント

原点と直線の距離の公式から点Aを並行移動して、点と直線の距離の公式を導き出します。

直線BとOの距離 原点と直線の距離の求め方

原点O(0, 0) と直線B;ax+by+c=0 の距離は

\[\begin{eqnarray<em>} \dfrac{| c|}{~\sqrt[]{\mathstrut a^2+b^2}} \end{eqnarray</em>}\]

となります。 原点と直線の距離の公式の証明は別記事で確認できます。

 次に点A(x_1, y_1) と直線B;ax+by+c=0 の距離については

直線BとAの距離 tentochokusen2

図のようにまず点Aが原点に移るように全体を平行移動します。
この時直線Bを映したものを直線B’とするとa(x+x_1)+b(y+y_1)+c=0 と書けます。
つまり

\[\begin{eqnarray<em>} ax+by+(ax_1+by_1+c)=0 \end{eqnarray</em>}\]

となります。 よって, 点A(x_1, y_1) と直線B;ax+by+c=0 の距離は
原点O(0, 0) と直線ax+by+(ax_1+by_1+c)=0 の距離とみることができるので,
原点と直線の距離の公式より,

\[\begin{eqnarray<em>} \dfrac{|ax_1+by_1+c|}{~\sqrt[]{\mathstrut a^2+b^2}} \end{eqnarray</em>}\]

と書けます。

点と直線の距離の公式の例題

問題

原点(0, 0) と直線 3x+4y+4=0 の距離を求めなさい。

解答

点と直線の距離の公式より,

\[\begin{eqnarray<em>} \dfrac{4}{\sqrt[]{\mathstrut 3^2+4^2} } =\dfrac{4}{5} \end{eqnarray</em>}\]

となります。

参考

「新課程チャート式 基礎からの数学Ⅱ+B チャート研究所編著 数研出版」

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