点と直線の距離の公式の証明：図形と方程式

点と直線の距離の公式

点A $(x_1, y_1)$ と直線 $B;ax+by+c=0$ の距離は

$\begin{eqnarray} \dfrac{|ax_1+by_1+c|}{~\sqrt[]{\mathstrut a^2+b^2}} \end{eqnarray}$

となります。

原点と直線の距離の公式から点Aを並行移動して、点と直線の距離の公式を導き出します。

直線BとOの距離原点と直線の距離の求め方

原点 $O(0, 0)$ と直線 $B;ax+by+c=0$ の距離は

$\begin{eqnarray} \dfrac{| c|}{~\sqrt[]{\mathstrut a^2+b^2}} \end{eqnarray}$

　次に点A $(x_1, y_1)$ と直線 $B;ax+by+c=0$ の距離については

直線BとAの距離

図のようにまず点Aが原点に移るように全体を平行移動します。
この時直線Bを映したものを直線B’とすると $a(x+x_1)+b(y+y_1)+c=0$ と書けます。
つまり

$\begin{eqnarray} ax+by+(ax_1+by_1+c)=0 \end{eqnarray}$

となります。よって, 点A $(x_1, y_1)$ と直線 $B;ax+by+c=0$ の距離は
原点 $O(0, 0)$ と直線 $ax+by+(ax_1+by_1+c)=0$ の距離とみることができるので,
原点と直線の距離の公式より,

$\begin{eqnarray} \dfrac{|ax_1+by_1+c|}{~\sqrt[]{\mathstrut a^2+b^2}} \end{eqnarray}$

と書けます。

原点 $(0, 0)$ と直線 $3x+4y+4=0$ の距離を求めなさい。

点と直線の距離の公式より,

$\begin{eqnarray} \dfrac{4}{\sqrt[]{\mathstrut 3^2+4^2} } =\dfrac{4}{5} \end{eqnarray}$

となります。

「新課程チャート式基礎からの数学Ⅱ＋B チャート研究所編著数研出版」