原点と直線の距離の公式の証明:図形と計量

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原点と直線の距離の公式

原点 O(0, 0) と直線 B;ax+by+c=0 の距離 T は

\[\begin{eqnarray<em>} T=\dfrac{| c|}{~\sqrt[]{\mathstrut a^2+b^2}} \end{eqnarray</em>}\]

となります。

原点と直線の距離の公式の証明の解説/ポイント

まず原点からの距離を調べます。

直線BとOの距離 原点と直線の距離の求め方

上の図のように点Oから直線Bに垂線をおろし, その足をHとします。
ここで一旦, b, a\ne 0 として直線OHを求めます。
この時直線Bは

\[y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}\]

と書けるので
傾きは-\dfrac{a}{b} となります。
また, 直線OHと直線Bは直行しているので,
直線OHの傾きをSとすると,

\[-\dfrac{a}{b}S=-1\]

を満たすので

\[\dfrac{b}{a}=S\]

と書けます。
よって直線OHは未知数Tを用いて

\[y=\dfrac{b}{a}x+T\]

と書けます。
この直線OTは点O(0, 0) を通るので0=T を満たします。
以上のことから直OHは

\[y=\dfrac{b}{a}\]

より

\[ay-bx=0\]

となります。
これはb, a= 0 のときも, 上の式を満たします。
たとえば直線Bをb=0つまりx=0とすると,
直線OHはy=0となります。

 次に, Hの座標を求めます。点Hは直線Bと直線OHの交点なので連立方程式

\[ax+by+c=0\]

\[ay-bx=0\]

の解になります。

これに対して各々bとaをかけると

\[bax+bby+bc=0\]

\[aay-abx=0\]

この2つの式の両辺を足すと

\[\begin{eqnarray<em>} (a^2+b^2)y+bc=0 \end{eqnarray</em>}\]

となります。

よって

\[y=\dfrac{-bc}{a^2+b^2}\]

これをay-bx=0 に代入すると,

\[x=\dfrac{-ac}{a^2+b^2}\]

となります。

よって, 点Hの座標は

\[\begin{eqnarray<em>} 点H (\dfrac{-ac}{a^2+b^2}, \dfrac{-bc}{a^2+b^2}) \end{eqnarray</em>}\]

となります。

よって2点間の距離の公式よりOHの距離は

\[\begin{eqnarray<em>} \sqrt[]{\mathstrut \left{\dfrac{-ac}{a^2+b^2}\right}^2+ \left{\dfrac{-bc}{a^2+b^2}\right}^2 }\end{eqnarray</em>}\]

\[\begin{eqnarray<em>}=\sqrt[]{\mathstrut \dfrac{c^2}{a^2+b^2} }\end{eqnarray</em>}\]

\[\begin{eqnarray<em>}=\dfrac{|c|}{\sqrt[]{\mathstrut a^2+b^2}} \end{eqnarray</em>}\]

と, 求めたかった式が出てきました。

原点と直線の距離の求め方の公式の例題

問題

原点(0, 0) と直線 3x+4y+4=0 の距離を求めなさい。

解答

点と直線の距離の公式より,

\[\begin{eqnarray<em>} \dfrac{4}{\sqrt[]{\mathstrut 3^2+4^2} } =\dfrac{4}{5} \end{eqnarray</em>}\]

となります。

参考

「新課程チャート式 基礎からの数学Ⅱ+B チャート研究所編著 数研出版」

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