三角方程式(sin,cos)の解き方のポイント:三角関数

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三角方程式(sin,cos)の解き方のポイント

  • sincostanのうち2つ以上が含まれる三角方程式を解く問題です。
  • 相互関係を用いて式に含まれる三角比を減らし、因数分解します。
  • \thetaの範囲によっては、解にならない値があることに注意します。

三角方程式の問題

次の三角方程式を解きなさい。ただし0 \leqq \theta <180とします。

\[2 cos^2\theta -sin\theta -1=0\]

三角方程式の解法の手順

  1. cos^2\theta =1-sin^2\thetaを代入して、式をsin\thetaだけで表します。
  2. 因数分解をして、sin\thetaの値を求めます。
  3. 0 \leqq \theta <180の範囲で、求めたsin\thetaの値をとる\thetaを求めます。

三角方程式の問題の解説

複数の三角比が含まれる場合、相互関係を利用して種類を減らします。 基本的に1次のsincosは変形が難しいので、次数が大きいものを1次の三角比に合わせて変形します。
この問題では1次のsin\thetaが含まれるので、2 cos^2\thetaをそれに合わせてsin\thetaを含むように変形します。
相互関係より

\[cos^2\theta =1-sin^2\theta\]

なので、

\[2 cos^2\theta -sin\theta -1=0は\]

\[2(1-sin^2\theta )-sin\theta -1=0\]

\[-2 sin^2\theta -sin\theta +1=0\]

\[2 sin^2\theta +sin\theta -1=0\]

と変形できます。
方程式をsin\thetaだけで表せたので、通常の二次方程式と同じように因数分解をしてsinの値を求めると、

\[(2 sin\theta -1)(sin\theta +1)=0より\]

\[sin\theta =\dfrac{1}{2},-1\]

となります。
0 \leqq \theta <180の範囲でこれらの値をとる\thetaを求めると、

\[sin\theta =\dfrac{1}{2}\]

のとき

\[\theta =30,150\]

となります。また、0 \leqq \theta <180の範囲ではsin\theta \geqq 0なのでsin\theta =-1を満たす\thetaは存在しません。
よって、解は

\[\theta =30,150\]

となります。

参考

チャート式 数研出版

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