等比数列の和の公式の証明：数列

2015/9/15 2016/2/20 数列, 数学, 数学B

等比数列の和の公式

初項a, 公比r, の等比数列の初項から第n項までの和を $S_n$ とすると, $r\ne &1&$ のとき

$\begin{eqnarray}S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\end{eqnarray}$

$r= &1&$ のとき

$\begin{eqnarray} S_n=na \end{eqnarray}$

等比数列の和の公式の証明/ポイント

$r\ne 1$ のとき

$S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$

は次のようにして, 証明できます。

$\begin{eqnarray} (1-r)S_n\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}=& S_n-rS_n \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}=& a+ar+ar^2+\dots +ar^{n-1}&&+( -ar-ar^2-\dots -ar^{n-1}-ar^n) \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}=& a-ar^n \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}=& a(1-r^n) \end{eqnarray}$

となるので, $r\ne 1$ に注意して両辺を(1-r) で割ると

$\begin{eqnarray} S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r} \end{eqnarray}$

となり, 示したかった式が出てきます。

r=1のとき単純にすべての項がa になるので

$S_n=a+a+・・・・+a=na$

となります。

考え方のポイントは等比数列のA番目の項は(A-1)番目の項に公比r をかけたものと同じ値になるということです。
ただし, 注意すべきことは公比がr=1 の時は(1-r)=0となり割ることができないことです。
しかし, 上記のように公比がr=1 の時はすべての項がa になるので, そのまま和をとることで計算できます。