円と直線の共有点の個数を求めるポイント：図形と方程式

• 円と直線の、共有点の個数を求める問題です。
• 円の中心と直線の距離を求め、円の半径と比較します。

共有点の個数を求める問題

円と直線の共有点の個数を求めよ。

円と直線の共有点の場合の解法の手順

1. 円の方程式を変形し、中心と半径を求めます。
2. 円の中心と直線の距離を求めます。
3. 円の中心と直線の距離と、円の半径の大小関係から場合分けをします。

共有点の個数を求める問題の解説

共有点の座標を求める必要がない場合は、円の半径と、円の中心と直線の距離を利用します。
まず、円の方程式を変形して中心と半径を求めます。
より

   

   

となるので、円の中心はであり、半径はとなります。
次に、円の中心と、直線の距離を求めます。 はと変形できるので、点と直線の距離の公式から、中心と直線の距離は

   

と表せます。
中心と直線の距離と、中心と円周の距離である半径の大小関係によって
共有点の個数が変わるので、中心と直線の距離の値によって場合分けをします。
まず、中心と直線の距離が半径よりも小さい場合、直線が円の内側を通るので、共有点は2個となります。

このようになるのは

   

   

   

   

のときとなります。 次に、中心と直線の距離が半径と等しい場合、直線は円と接するので、共有点は1個となります。

このようになるのは、

   

   

   

   

のときとなります。 最後に、中心と直線の距離が半径よりも大きい場合、直線は円の外側をとるので 共有点は0個となります。

このようになるのは、

   

   

   

   

のときとなります。

以上より、共有点の個数は
(1) のとき2個
(2)のとき1個
(3)のとき0個

参考

数学2教科書　数研出版