3次の三角関数の最大値・最小値を求める問題のポイント

3次の三角関数の最大値・最小値を求める問題のポイント

• が含まれる、3次以上の関数の最大値や最小値を求める問題です。
• 三角関数を他の文字に置き換えて微分します。
• との和・差が含まれる場合、和・差をそのまま他の文字に置き換えます。
• との積は、相互関係を利用して和・差に変形します。

3次の三角関数の最大値・最小値を求める問題

の最大値と最小値を求めなさい。

3次の三角関数の最大値・最小値を求める解法の手順

1. と置きます。
2. 相互関係を利用して、をを用いて表します。
3. 1、2からをを用いて表します。
4. 合成を利用して、の値の範囲を求めます。
5. 微分を利用して、3で求めた範囲での増減を調べます。
6. 極値と定義域の両端での値を比較し、最大値と最小値を求めます。

3次の三角関数の最大値・最小値を求める問題の解説

三角関数を含む関数の場合、三角関数を他の文字に置き換えることで微分が簡単になります。
sinとcosの和・差が含まれる場合、合成によってsinだけで表すことができるので
和・差をそのままで文字に置き換えます。
まず、と置きます。与えられた関数は

   

   

   

となるので、をを用いて表すことができれば、
をを用いて表すことができます。
の両辺を2乗すると

   

となり、相互関係よりなので

   

と表せます。よって、

   

   

   

   

と表せます。ここで、変数がからに置き換わったのでの値の範囲を求めます。
三角関数の合成を利用すると、

   

   

   

となるので、 より

   

   

よって、

   

となります。 の値の範囲が求められたので、この範囲での関数の増減から、最大値と最小値を求めます。

   

より

   

   

となるので、の値に対するの増減は以下のようになります。

増減表

のとき

   

のとき

   

のとき

   

のとき

   

となるので、 最大値2、最小値－1と求められます。

参考

チャート式　数研出版