等差数列と等比数列の積の和の問題の解法ポイント：数列

• 一般項がで表される、等差数列と等比数列の積の数列の和を求める問題です。
• 数列の和に、等比の部分の公比をかけた数列の和を求めます。
• を、項を1つずつずらした形で求めます。
• は等比数列になるので、等比数列の和の公式を用いて和が求められます。

等差数列と等比数列の積の和の問題

の一般項を求めなさい。

Snと置き一般項を導く解法の手順

1. 与えられた和をSと置きます。
2. を求めます。
3. を、項を1つずつずらして求めます。
4. 等比数列の和の公式から、を求めます。
5. の値から、を求めます。

等差数列と等比数列の積の和の問題の解説

   

と置きます。
この式は、等差数列と等比数列の積で表される数列の
第項までの和であると考えられます。
等比数列の和の公式と同様に、等比の部分の公比であるをかけたを求めると、

   

となります。
この式をSから項を1つずつずらして引くことで、等差の部分が消去できます。

和の様子

得られた

   

について、
の部分は初項、公比3、
より項数の等比数列の和となるので、

   

   

   

となります。
よって、

   

   

   

   

となります。よって、

の両辺をで割ることで、

   

が得られます。

参考

チャート式　数研出版