隣接3項間漸化式の一般項を求める際のポイント（特性方程式が重解を持つ場合）：数列

隣接3項間漸化式の一般項を求める際のポイント（特性方程式が重解を持つ場合）

• 隣接3項間の漸化式から一般項を求める問題について、特性方程式が重解を持つ場合です。
• 特性方程式から得られる隣接2項間の漸化式を変形して一般項を求めます。

隣接3項間漸化式の一般項を求める問題

,,を満たす数列の一般項を求めなさい。

特性方程式が重解を持つ場合の解法の手順

1. 特性方程式を解きます。
2. 特性方程式の重解 を利用して、漸化式を変形します。
3. 変形した漸化式から、隣接2項間の漸化式を導きます。
4. 隣接2項間の漸化式の両辺を で割ります。
5. 4で得られた漸化式から、数列 の一般項を求めます。
6. の一般項を 倍することで、元の数列 の一般項が求められます。

隣接3項間漸化式の一般項を求めるの解説

の特性方程式であるを解くと、

   

   

よりが重解となります。よって、与えられた漸化式は

   

   

と変形されます。

と置くと、

   

   

   

であり、

   

   

より

   

となるので、数列は初項1、公比3の等比数列となります。
よって、

   

と表せます。
この式にを代入すると

   

が得られます。
特性方程式が重解を持つ場合は隣接2項間の漸化式が1通りしか得られないので、
この漸化式を変形して一般項を導きます。
漸化式の両辺をで割ると、

   

   

より

   

   

となります。

ここで、と置くと、

   

となり、であることから 数列 は初項 、公差 の等差数列となります。
よって、

   

   

より

   

となるので、

   

   

と求められます。

参考

チャート式　数研出版