分数の数列の和を求める問題の解法ポイント

• 一般項が分母にを含む分数の形で表される数列の和を求める問題です。
• 出題形式にはを用いて一般項が表される形と、初項からいくつかの項が書き表される形があります。
• 部分分数分解を用いてと変形し、数が同じで符号が異なるものを消していきます。

分数の数列の和を求める問題

   

を求めなさい。

分数の数列の和を求める解法の手順

1. 部分分数分解を用いて、分数を2つに分けて表します。
2. 項を実際に書き並べます。
3. 数が同じで符号が異なるもの同士を足すことで消し、残ったものを足します。

分数の数列の和を求める問題の解説

分母が2つの数の積として表されているので、
部分分数分解を用いて分母が1つの数だけで表される形に変形します。

   

より

   

となるので、

   

   

と変形できます。

この中で、初項を分解してできたと第3項を分解してできたのように、
数が同じで符号が異なるものを消すことで、和が求められます。
初めのうちは多めに項を書くようにすると、消える部分と残る部分が考えやすくなります。

   

   

   

   

   

   

より、和は となります。分子が因数分解できる形になったので分子、分母ともに
因数分解した形で表しましたが、両方とも展開した形で解答しても構いません。

参考

チャート式　数研出版