群数列の和を求める問題の解法ポイント：数列

群数列のある項までの和を求める問題です。
群として分けられていない場合は、仕切りを入れて群をつくります。
末項が何番目の群の第何項にあたるかを求め、各群の和から全体の和を求めます。

群数列の和を求める問題

次の数列の、第25項までの和を求めなさい。

群数列の和の解法の手順

数列を群に分けます。
第25項が、何番目の群の第何項にあたるかを求めます。
それぞれの群の和を求めます。
各群の和を合計します。

群数列の和を求める問題の解説

与えられた数列は群に分けられてはいませんが、同じ数の繰り返しが含まれているので群に分けて考えます。
1が現れる項ごとに仕切りを入れ、仕切りの中にある群をそれぞれ第1群、第2群、…とすると、

となり、第n群は初項1、公比2、項数nの等比数列となります。
次に、第25項が含まれる群を求めます。
第n群にn個の項が含まれることから、第n群までの項の総数は

となり、同様に第群までの項の総数はとなります。
よって、第25項が第n群に含まれるとき、
(第(n－1)群までの項の総数) (第n群までの項の総数)となるので、

が成り立ちます。
のとき第群、すなわち第群までの項の総数は第群、すなわち第群までの項の総数はとなり、上の不等式を満たすことから
第25項は第7群に含まれることがわかります。
また、第21項が第6群の最後の項なので、第25項は第7群の第4項となります。
第25項が含まれる群が求められたので、次に各群の項の和を求めます。
第n群は初項1、公比2、項数nの等比数列なので、
第n群の項の和は

と表せます。第25項は第7群の途中の項なので、
先にすべての項が求める和に含まれる第1群から第6群までの和を求めると、

となります。
残った第22項から第25項までの和は、第25項が第7群の4番目なので

となります。以上より、第25項までの和は

と求められます。

参考

チャート式　数研出版