階差数列をもとにした数列の一般項の証明：数列

階差数列の応用公式

数列 の階差数列が となっているとする。この時, 数列 の初項をb とすると一般項は は

   

とかけます。

階差数列をもとにした数列の一般項の証明の解説/ポイント

まず, 数列 の各々の隣り合う項の差が数列 に対応している, つまり,

   

   

   

   

をみたすことから,

を書き下すと

   

   

   

   

   

   

となります。

同様にすると一般のn に対して,

   

   

   

   

となります。

階差数列をもとにした数列の一般項の例題

問題

数列の階差数列が, 初項1, 公差1 の等差数列となっているとします。この数列の初項が1となるとき, 一般項を求めなさい。

解答

まず等差数列 の初項a=1, 公差d=1 の等差数列になっていることに注意すると,一般項の公式より

   

となります。
よって, 数列は の一般項は階差数列の一般項の公式より

   

   

   

   

   

となります。

参考

「数学B　坪井　俊著　数研出版」