原点と直線の距離の公式の証明：図形と計量

原点と直線の距離の公式

原点 と直線 の距離 T は

   

となります。

原点と直線の距離の公式の証明の解説/ポイント

まず原点からの距離を調べます。

直線BとOの距離

上の図のように点Oから直線Bに垂線をおろし, その足をHとします。
ここで一旦, として直線OHを求めます。
この時直線Bは

   

と書けるので
傾きは となります。
また, 直線OHと直線Bは直行しているので,
直線OHの傾きをSとすると,

   

を満たすので

   

と書けます。
よって直線OHは未知数Tを用いて

   

と書けます。
この直線OTは点 を通るので を満たします。
以上のことから直OHは

   

より

   

となります。
これは のときも, 上の式を満たします。
たとえば直線Bをつまりとすると,
直線OHはy=0となります。

　次に, Hの座標を求めます。点Hは直線Bと直線OHの交点なので連立方程式

   

   

の解になります。

これに対して各々bとaをかけると

   

   

この2つの式の両辺を足すと

   

となります。

よって

   

これを に代入すると,

   

となります。

よって, 点Hの座標は

   

となります。

よって2点間の距離の公式よりOHの距離は

   

   

   

と, 求めたかった式が出てきました。

原点と直線の距離の求め方の公式の例題

問題

原点 と直線 の距離を求めなさい。

解答

点と直線の距離の公式より,

   

となります。

参考

「新課程チャート式 基礎からの数学Ⅱ＋B チャート研究所編著 数研出版」