余弦定理の公式の証明：図形と計量

余弦定理の公式

余弦定理

図のような三角形ABCに対して, 次の等式が成立します。これを余弦定理と呼びます。

   

   

   

証明/ポイント

余弦定理の解説

図のように点Aが原点となるようにxy座標をとり, 点Cからx軸に垂線をおろし, 足をHとします。
ここで, 長さCH, AHは各々

   

   

とかけます。

このことから, BH の長さは

   

と書けます。

ここで△BHCに対して三平方の定理を用いると,

   

   

   

   

   

が導けます。
これは角Aが鈍角の場合も同じ証明で示すことができます。また, 座標のとり方を変えると同様にして, ほかの2つの式も導くことができます。

例題

問題

次の三角形のように辺の長さが1 と2 でその2つの辺で挟まれる角度が の時, Xの長さを求めなさい。

余弦定理の問題

解答

余弦定理より

   

   

   

となるので, に注意して,

   

となります。

参考

「新課程チャート式 基礎からの数学Ⅰ＋A チャート研究所編著 数研出版」