円と直線の共有点の個数と座標を求める際のポイント：図形と方程式

• 円と直線の共有点の個数と座標を求める問題です。
• 円の式と直線の式からyを消去して、xの二次方程式をつくります。
• xの二次方程式の実数解が、共有点のx座標となります。

共有点の個数と座標を求める問題

円と直線の共有点の個数と、その座標を求めなさい。

円と直線の場合の解法の手順

1. 直線の式をyについて解きます。
2. 代入法でyを消去して、xの二次方程式をつくります。
3. xの二次方程式を解きます。
4. 得られた解を直線の式に代入して、対応するyの値を求めます。
5. 解の個数が共有点の個数、方程式の解が共有点の座標となります。

共有点の個数と座標を求める解説

交点の座標を求めるには、2つの式を連立方程式として解きます。
直線の式をyについて解くと

   

となるので、 これをに代入すると、

   

整理して

   

が得られます。この二次方程式の解が共有点のx座標となります。 を解くと、

   

   

実数解が2つ得られるので、共有点の個数は2個となります。

最後に、求められたxの値をに代入すると、
のとき

   

のとき

   

となるので、

共有点の座標は

   

となります。

参考

数学2教科書　数研出版