三角方程式が解を持つとき、文字の条件を決定するポイント：図形と計量

• 文字定数が含まれる三角方程式が、解を持つような文字定数の値の範囲を求める問題です。
• 解の存在を確かめる問題なので、判別式を利用します。
• の値の範囲から三角比の値の範囲を求め、その値が解に含まれる条件を求めます。

文字の条件を決定する問題

方程式がの範囲で解を持つような
定数の値の範囲を求めなさい。

三角方程式が解を持つときの解法の手順

1. xの値の範囲からの値の範囲を求めます。
2. と置き換えます。
3. 置き換えた方程式について、を含む項と含まない項に分けます。
4. を含む項によって表される図形と、含まない項によって表される図形が交点を持つ条件を求めます。

文字の条件を決定する問題の解説

まずは、の値の範囲からの値の範囲を求めます。
なので、となります。
と置き換えると与方程式は

   

となります。この方程式について、を含む項を右辺に移項すると

   

より

   

となり、方程式がの範囲に解を持つことは、
放物線が直線との範囲で交わることと同値となります。
の範囲でこの2つが交わるの値の範囲は、

関数の位置関係

直線が点を通る①に重なるときと、s軸に一致するときの間となります。
①に重なるとき、を代入して
s軸に一致するとき、傾きが0になるので
よって、

   

が求める範囲となります。
判別式とグラフの軸の位置を用いても求めることができますが、
このようにグラフを利用すると簡単に求められます。

参考

チャート式　数研出版