指数方程式の解法ポイント：指数関数

指数方程式の解法ポイント

• 変数が累乗の指数の部分に含まれる、指数方程式を解く問題です。
• 指数の底を揃え、と置き換えることで、通常の方程式と同じように解くことができます。
• (自然数のx乗)>0なので、解の範囲が限られることに注意します。

指数方程式の問題

指数方程式を解きなさい。

指数方程式の解法の手順

1. 指数の底を揃えます。
2. と置いて、式をの2次方程式に書き換えます。
3. 2次方程式を解いての値を求めます。
4. 得られたの値についてが成り立つかを確かめ、の値を求めます。

指数方程式の解説

3つ以上の項を含む指数方程式を解く際には、と置き換えることで計算が簡単になります。
置き換えの準備段階として、まずは指数の底を揃えます。
なので、

   

を次のように変形できます。

   

また、のままでは置き換えにくいので、
より を

   

と変形し、
として式全体を書き換えます。
よりなので、 は

   

と書き換えられます。
このtの2次方程式を解くと、

   

よりが得られます。
ここで、得られたtの値についてを満たすが存在するかを確かめると、
なので、はを満たすが存在せず、解として不適となります。
よって、解はのみとなります。
最後にからの値を求めると、対数の定義より

   

となります。

参考

チャート式　数研出版