二次関数がある範囲でx軸と異なる２点で交わるときのaの範囲を求めるポイント

2016/3/4 2016/3/5 2次関数と方程式・不等式, 二次関数, 数学, 数学Ⅰ

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二次関数がある範囲でx軸と異なる２点で交わるときのaの範囲を求めるポイント

与えられたx軸との交点の範囲から、二次関数の文字定数の値の範囲を求める問題です。
二次方程式の解の値の範囲から、文字定数の値の範囲を求める問題として出題される場合もあります。
軸の位置と、x軸との交点の範囲の境目となる部分でのyの値に注目します。

二次関数がx軸と異なる２点で交わるときの問題

関数 $y=2x^2-4ax+8$ がx軸と $x<1$ の範囲で異なる2点で交わるとき、 $a$ の値の範囲を求めなさい。

二次関数がx軸と異なる２点で交わるときの解法の手順

異なる2点で交わるので、(判別式の値)>0となります。
交点のx座標が2つとも1よりも小さくなるので、(軸のx座標)<1かつ(x=1のときのyの値)>0となります。
それぞれの不等式の共通部分が、求めるaの値の範囲となります。

二次関数がx軸と異なる２点で交わるときの問題の解説

二次関数がx軸と異なる2点で交わるとき、判別式を $D$ とすると $D>0$ となるので、

$\dfrac{D}{4}=(2a)^2-2\cdot 8>0$

が成り立つことになります。この不等式を解くと、

$4a^2-16>0$

$(a-2)(a+2)>0$

より

$a<-2,2<a \dots (1)$

となります。次に、交点のx座標が2つとも1よりも小さいとき、軸が $x=1$ よりも左側にあり、かつ $x=1$ のときのyの値が0よりも大きくなります。 $y=2x^2-4ax+8$ の軸は

$\dfrac{-(-4a)}{ (2\cdot 2)} =a$

であり、 $x=1$ のときのyの値は

$2-4a+8=10-4a$

なので、

$a<1\dots (2)$

$10-4a>0$

が成り立つことになります。 $10-4a>0$ を解くと、 $4a<10$ より

$a<\dfrac{5}{2}\dots (3)$

求めるaの値の範囲は(1),(2),(3)の共通部分より $a<-2$ となります。

参考

チャート式　数研出版

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