二次不等式の解法ポイント（文字定数を含む場合）：数と式

二次不等式の問題

不等式 $x^2-(a+1)x+a<0$ を解きなさい。ただし $a$ は定数とします。

通常の不等式と同様に因数分解をすると、

$(x-a)(x-1)<0$

となります。
問題の中で $a$ に関する条件が定められていないので、因数分解によってできた定数項である
$a$ と1の大小関係によって場合分けをします。

(1) $a<1$ のとき、
$(x-a)(x-1)<0$ を満たす $x$ の範囲は $a<x<1$ となります。

(2) $a=1$ のとき、
$(x-a)(x-1)$ は $(x-1)(x-1)=(x-1)^2$ となります。
$(x-1)^2\geqq 0$ (等号成立は $x=1$ のとき)なので、不等式 $(x-1)^2<0$ は解なしとなります。

(3) $a>1$ のとき、
$(x-a)(x-1)<0$ を満たす $x$ の範囲は $1<x<a$ となります。

以上をまとめて、解は

$a<1$ のとき $a<x<1$

$a=1$ のとき　なし

$a>1$ のとき　 $1<x<a$

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