点と直線の距離の公式の証明：図形と方程式

点と直線の距離の公式

点A と直線 の距離は

   

となります。

点と直線の距離の公式の証明の解説/ポイント

原点と直線の距離の公式から点Aを並行移動して、点と直線の距離の公式を導き出します。

直線BとOの距離

原点 と直線 の距離は

   

となります。 原点と直線の距離の公式の証明は別記事で確認できます。

　次に点A と直線 の距離については

直線BとAの距離

図のようにまず点Aが原点に移るように全体を平行移動します。
この時直線Bを映したものを直線B’とすると と書けます。
つまり

   

となります。 よって, 点A と直線 の距離は
原点 と直線 の距離とみることができるので,
原点と直線の距離の公式より,

   

と書けます。

点と直線の距離の公式の例題

問題

原点 と直線 の距離を求めなさい。

解答

点と直線の距離の公式より,

   

となります。

参考

「新課程チャート式 基礎からの数学Ⅱ＋B チャート研究所編著 数研出版」