半角公式（サイン・コサイン・タンジェント）の証明：三角関数

半角公式（サイン・コサイン・タンジェント）

   

   

   

これらの等式を三角関数の半角公式と呼びます。

半角公式（サイン・コサイン・タンジェント）の証明/ポイント

まず, sin と cos については加法定理から導くことができます。
この時, cosの加法定理を使うということが, この証明の大きなポイントです。(sin の加法定理では証明しにくいです)

   

   

   

ここで, もしくは より,
上の式に当てはめると各々,

   

   

と書けます。これを整理すると,

   

   

が導けます。

次にtan については,

   

   

   

   

として, 導くことができます。

参考

「数学Ⅱ　川中 宣明著　数研出版」