内積成分表示の公式の証明：平面上ベクトル

ベクトルの内積の成分表示の公式

のとき, と の内積は

   

ベクトルの内積の成分表示の公式の証明/ポイント

重要なポイントは, ベクトルの内積は成分ごとの積の和になるということです。このとき, 添え字の順番を間違えないようにしましょう。

証明は, 内積の定義

   

に立ち返ることがポイントになっています。

ベクトルの内積

かつ と は平行でないとします。

上の図のように と の始点を点Pとして, と のなす角を とします。　　　 まず, 内積の定義より

   

と書けます。
また, 辺ABの長さは

   

と書けることに注意すると,
△APBに対して, 余弦定理を適応すると,

   

が成立します。
よって,

   

と書くことができます。
ここで,

   

を各々ベクトル表記から座標に書き換えると,

   

   

   

   

と書けます。よって,

   

   

   

   

もしくは のとき
もしくは となるので,
であり, かつ となるので,
この場合も

   

が成立します。

と は平行のとき
とすると,

   

   

   

   

   

となるので,

この場合も

   

が成立します。 以上のことから,

   

が言えます。

ベクトルの内積の成分表示の公式の例題

問題

のとき,　　 　　 と の内積を求めさない。

解答

内積の公式より,

   

となります。

参考

「数学B　坪井　俊著　数研出版」