組分けの総数(1つの組に入る個数が決まっていない場合)の解法ポイント:場合の数

  • 1つの組に入る個数や人数が決まっていない組分けの問題です。
  • 重複順列の考え方を用いて解きます。
  • 0個の組を含めない場合、(すべての組分け)-(0個の組が存在する組分け)で求めます。

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組分けの総数の問題

6人をA、B、Cの3つの組に分ける方法は何通り存在するか。
ただし、どの組にも少なくとも1人は入るものとする。

1つの組に入る個数が決まっていない場合の解法の手順

  1. 重複順列の考え方で、0人の組が存在するものを含めた組分けの総数を求めます。
  2. 0人の組を含む組分けが何通り存在するかを求めます。
  3. (すべての組分け)-(0人の組が存在する組分け)で、どの組にも少なくとも1人入る組分けの総数が求められます。

組分けの総数の問題の解説

0人の組が存在するものを含めて6人をA、B、Cの3組に分ける分け方は、
A、B、Cの3つに重複を許して6個並べる並べ方と等しいので、
その総数は

となります。 このうち、Aが0人の組分けは、B、Cの2つを重複を許して6個並べる並べ方の総数と等しく、

存在します。 Bが0人の組分けも同様に64通りですが、この中にAも0人であるものが1通り含まれます. また同様に, Cが0人の組分け64通りの中にもAも0人であるものとBも0人であるものの2通りが含まれます. これらのことを合わせると, 0人の組が存在する組分けは

となります。よって、どの組にも少なくとも1人入る組分けは

となります。

参考

「チャート式 数研出版」

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