組分けの総数（1つの組に入る個数が決まっていない場合）の解法ポイント：場合の数

• 1つの組に入る個数や人数が決まっていない組分けの問題です。
• 重複順列の考え方を用いて解きます。
• 0個の組を含めない場合、(すべての組分け)－(0個の組が存在する組分け)で求めます。

組分けの総数の問題

6人をA、B、Cの3つの組に分ける方法は何通り存在するか。
ただし、どの組にも少なくとも1人は入るものとする。

1つの組に入る個数が決まっていない場合の解法の手順

1. 重複順列の考え方で、0人の組が存在するものを含めた組分けの総数を求めます。
2. 0人の組を含む組分けが何通り存在するかを求めます。
3. (すべての組分け)－(0人の組が存在する組分け)で、どの組にも少なくとも1人入る組分けの総数が求められます。

組分けの総数の問題の解説

0人の組が存在するものを含めて6人をA、B、Cの3組に分ける分け方は、
A、B、Cの3つに重複を許して6個並べる並べ方と等しいので、
その総数は

   

となります。 このうち、Aが0人の組分けは、B、Cの2つを重複を許して6個並べる並べ方の総数と等しく、

   

存在します。 Bが0人の組分けも同様に64通りですが、この中にAも0人であるものが1通り含まれます. また同様に, Cが0人の組分け64通りの中にもAも0人であるものとBも0人であるものの2通りが含まれます. これらのことを合わせると, 0人の組が存在する組分けは

   

となります。よって、どの組にも少なくとも1人入る組分けは

   

となります。

参考

「チャート式　数研出版」