3次関数の最大値・最小値を利用して、不等式を証明するポイント：微分法

3次関数の最大値・最小値を利用して、不等式を証明するポイント

• 3次関数に関する不等式を証明する問題です。
• 両辺の差をと置き、微分を利用して値の変化を調べます。

3次関数に関する不等式を証明する問題

のとき、次の不等式が成り立つことを証明しなさい。

   

3次関数の不等式の証明の手順

1. をと置き、微分して増減を調べます。
2. 増減を元に、定義域内でのの最小値を求めます。
3. 最小値を利用しての不等式をつくります。
4. の不等式を移項して、与えられた不等式が成り立つことを示します。

3次関数の不等式の証明の解説

3次以上の不等式を証明する場合、不等式の両辺の差を利用します。
両辺の差を求めると(左辺)－(右辺)は

   

   

となるので、と置きます。
の範囲で、の増減を調べると

   

   

   

よりが成り立つとき、であり、

   

   

なので の増減は以下のようになります。

増減表

増減表より、の範囲ではのとき最小値をとることが分かります。
これを不等式で表すと、の範囲で、すなわち

   

が成り立ちます。 元の不等式の右辺に含まれた項を移項することで
となり、与不等式が成り立つことが示されます。

参考

数学2教科書　数研出版