隣接三項間漸化式の一般項を求める問題のポイント：数列

• と表される、隣接する3項に関する漸化式から一般項を求める問題です。
• 特性方程式を用いて、隣接2項間の漸化式を2つ導きます。
• 2つの漸化式を連立方程式として解くことで、一般項が求められます。

隣接三項間漸化式の一般項を求める問題

, , を満たす数列の一般項を求めなさい。

隣接三項間漸化式の一般項を求める解法の手順

1. 特性方程式を解きます。
2. 特性方程式の解を利用して、漸化式を2通りに変形します。
3. 2通りの漸化式から、隣接2項間の漸化式を導きます。
4. 隣接2項間の漸化式を連立方程式として解いて、一般項を求めます。

隣接三項間漸化式の一般項を求める問題の解説

隣接3項間の漸化式について、を特性方程式と言います。
特性方程式の解 を用いて隣接3項間の漸化式を

   

   

の2通りに変形することができます。

の特性方程式は

   

であり、これを解くと

   

   

より

   

となります。よって、与えられた漸化式は

   

   

の2通りに変形できます。

次に、この2通りから隣接2項間の漸化式を導きます。
と置くと、であり、
より

   

となるので、数列は初項1、公比4の等比数列となります。
よって、

   

と表せます。

この式にを代入すると

   

となり、隣接2項間の漸化式が得られます。

同様に、と置くとであり、
より

   

となるので、数列は初項、公比2の等比数列となります。
よって、

   

と表せます。

この式にを代入して、

   

が得られます。
以上より隣接2項間の漸化式が2つ得られたので、これらを連立方程式とみて解きます。

からを引くと

   

となるので、

   

と求められます。

参考

数研出版　チャート式