定義域内での最大値・最小値から二次関数を求める問題のポイント

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定義域内での最大値・最小値から二次関数を求めるポイント

  • 定義域内での最大値と最小値が与えられた場合に、それを利用して二次関数を求める問題です。
  • 定義域の端ではない部分で最大値または最小値をとるxの値に着目します。

二次関数の決定問題

定義域が-2\leqq x\leqq 2のとき、x=-1で最小値-5をとり、最大値13をとる二次関数を求めなさい。

定義域内での最大値・最小値から決定する解法の手順

  1. 定義域の端ではない部分での最大値、または最小値から頂点を求めます。
  2. 頂点の座標から二次関数の式をy=a (x-p)^2+qの形で表します。
  3. もう一方の値をとるxの値を求めます。
  4. xともう一方の値からaの値を求めます。

二次関数の決定問題の解説

定義域の端ではないx=-1のときに最小値-5をとるので、頂点は(-1,-5)となります。
よって、求める二次関数はy=a\Bigl(x-(-1)\Bigl)^2-5、すなわちy=a(x+1)^2-5と表せます。
また、頂点の位置で最小値をとるのでa>0となります。

次に、最大値13をとるxの値を求めます。
a>0より、この二次関数は軸であるx=-1から離れるほどyの値は大きくなります。

よって、最大値13をとるのはx=2のときとなります。
x=2y=13y=a(x+1)^2-5に代入して、

\[13=a(2+1)^2-5\]

より

\[18=9a\]

\[a=2\]

よって、求める二次関数は
y=2(x+1)^2-5すなわちy=2x^2+4x-3と求められます。

参考

数学1教科書 数研出版

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