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正弦定理の公式
正弦定理
図のような三角形ABCに対して外接円の半径をRとすると, 次の等式が成立します。
これを正弦定理と呼びます。
正弦定理の公式の証明/ポイント
正弦定理の証明
図のように三角形ABCの外接円を書き, その円の中心をOとしてOBと外接円の交点を図のようにPとおきます。 外接円の性質より, ∠BAC＝∠BPCとなります。 またBPが円の直径になっていることに着目すると, ∠PCBは直角になります。 よって直角三角形PCBについて注目すると
となります。 つまり
となります。 同様にして
が証明できます。
また, 今回は角Aは鋭角ですが, 鈍角のものでも同様にして証明することができます。
正弦定理の例題
問題
次の三角形について, 辺の長さXを求めなさい。
正弦定理の例題
解答
正弦定理より
を満たすので,
となります。
参考
「新課程チャート式 基礎からの数学Ⅰ＋A チャート研究所編著 数研出版」