ベクトルの垂直条件からなす角を求める問題のポイント

ベクトルの垂直条件からなす角を求める問題のポイント

• 2つのベクトルの和や差に関する垂直条件から、2つのベクトルのなす角を求める問題です。
• 垂直条件が成り立つときに内積が0になることを利用して、 からなす角を求めます。

ベクトルの垂直条件からなす角を求める問題

ととがそれぞれ垂直であるとき、とのなす角を求めなさい。

ベクトルのなす角を求める解法の手順

1. 垂直であるとき内積が0になることから、与えられた条件を内積に関する式で表します。
2. 2つの式を連立方程式として解き、とをを用いて表します。
3. に2で得られた値を代入し、なす角を求めます。

ベクトルのなす角を求める問題の解説

なす角を求めるには、なす角に関してが成り立つことを利用します。
ととがそれぞれ垂直であることから、

   

   

が成り立ちます。 これらの式を展開して整理すると、

   

   

の2つの式が得られます。
未知数が3種類存在するのに対して式が2つなので
それぞれの値を求めることはできませんが、2種類を残りの1種類で表せれば、
に代入してなす角が求められます。

より

   

となるので、

   

より

   

となるので

   

となります。 ここで共に正なので

   

となります。よって、

   

   

   

よりと求められます。

参考

チャート式　数研出版