二次関数の最大値・最小値の解法ポイント（文字定数を含む場合）：二次関数

• 文字定数を含む二次関数の最大値・最小値について、定数の値が変化するときの最大値・最小値を求める問題です。
• 平方完成で得られる最大値・最小値について、さらに平方完成をすることで求められます。
• 多変数の二次関数でも、同様の手順で最大値・最小値が求められます。

二次関数の最大値・最小値の問題

を定数とする。の二次関数の最小値の最小値を求めなさい。

文字定数を含む場合の解法の手順

1. 平方完成をして最小値を求めます。
2. をの二次関数と考え、平方完成をして最小値を求めます。

二次関数の最大値・最小値の問題の解説

最大値・最小値に関する問題なので、まずは平方完成をします。
2種類の文字が含まれていますが、の二次関数なのでについて平方完成をします。

   

   

   

となるので、二次関数は

のとき最小値

   

をとります。

よって、となります。

はの二次関数になっているので、その最小値も平方完成をすることで求められます。

   

   

   

となるので、の最小値はの時にをとります。

多変数関数の場合も、1つの文字を定数と考え、平方完成を繰り返すことで求められます。

参考

チャート式　数研出版