指数不等式の解法ポイント:指数関数

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指数不等式の解法ポイント

  • 変数xが累乗の指数の部分に含まれる、指数不等式を解く問題です。
  • 指数の底によっては、不等号の向きと指数の大小関係が変わることに注意します。

指数不等式の問題

指数不等式\left( \dfrac{1}{125} \right)^x>\left( \dfrac{1}{25} \right)^{ 3-x }を解きなさい。

指数不等式の解法の手順

  1. 指数の底を揃えます。
  2. 底の値に注意して、指数の大小関係に帰着させます。

指数不等式の解説

まずは指数の底を揃えます。125=5^3,25=5^2であることから、与不等式は

\[\left( \dfrac{1}{5^3} \right)^x>\left( \dfrac{1}{5^2} \right)^{3-x }\]

\[\biggl (\left( \dfrac{1}{5} \right)^3 \biggr)^x>\biggl (\left( \dfrac{1}{5} \right)^2 \biggr)^{3-x }\]

\[\left( \dfrac{1}{5} \right)^{3x}>\left( \dfrac{1}{5} \right)^{2\left( 3-x \right)}\]

\[\left( \dfrac{1}{5} \right)^{3x}>\left( \dfrac{1}{5} \right)^{6-2x}\]

と変形できます。ここで、0<\dfrac{1}{5}<1なので、\left( \dfrac{1}{5} \right)^nの値はnが大きくなるほど小さくなります。

よって、不等式\left( \dfrac{1}{5} \right)^{3x}>\left( \dfrac{1}{5} \right)^{ 6-2x}が成り立つのは

\[3x<6-2x\]

のときとなり、この不等式を解くと5x<6より

\[x<\dfrac{6}{5}\]

が得られます。

参考 数学2教科書 数研出版
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