内積とベクトルの長さを求める際の解法ポイント:ベクトル

  • 与えられた2つのベクトルの大きさと内積から、2つのベクトルの和や差の大きさを求める問題です。
  • 内積を利用してベクトルの大きさの2乗を求め、その平方根をとります。

スポンサーリンク

内積とベクトルの長さを求める問題

| \overrightarrow{a} |=1,| \overrightarrow{b} |=3,\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =2のとき、| \overrightarrow{a} -2 \overrightarrow{b} |を求めなさい。

内積とベクトルの長さを求める解法の手順

  1. | \overrightarrow{a} -2 \overrightarrow{b} |^2を展開します。
  2. 展開した式に与えられたベクトルの大きさと内積を代入して、値を求めます。
  3. 求められた値の平方根をとります。

内積とベクトルの長さを求める問題の解説

ベクトルの大きさをそのまま求めるのは難しいので、まず大きさの2乗を求めます。

\[| \overrightarrow{a} -2 \overrightarrow{b} |^2\]

\[=| \overrightarrow{a} |^2-4 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} +4| \overrightarrow{b} |^2\]

なので、この式に| \overrightarrow{a} |=1,| \overrightarrow{b} |=3,\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =2を代入して

\[1^2-4\cdot 2+4\cdot 2^2=9\]

となります。
| \overrightarrow{a} -2 \overrightarrow{b} |^2=9であることと、| \overrightarrow{a} -2 \overrightarrow{b} |はベクトルの大きさなので| \overrightarrow{a} -2 \overrightarrow{b} |>0であることから

\[| \overrightarrow{a} -2 \overrightarrow{b} |=3\]

と求められます。2乗から元の値を求めることを忘れないように注意します。

参考

数学B教科書 数研出版

スポンサーリンク

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする

スポンサーリンク