logの底の変換公式：対数関数

logの底の変換公式

a,b,c>0,a≠1,b≠1,c≠1 のとき,

$\begin{eqnarray} log_a b =\dfrac{log_c b}{log_c a} \end{eqnarray}$

が成立します。

$a^t=b$ を満たすtを二通りの表し方をすることで, 証明を作ります。まず, logの定義から $t=log_a b$ と書けます。

次に, 条件のcを底として $a^t=b$ の両辺の対数をとると,

$log_c a^t = log_c b$

ここで, logの積の公式より,

$log_c a^t = t log_c a$

$t log_c a = log_c b$

$\begin{eqnarray} t =\dfrac{ log_c b }{ log_c a } \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} log_a b =\dfrac{ log_c b }{ log_c a } \end{eqnarray}$

ここで特に, 公式で $c=b$ とすると

$\begin{eqnarray} log_a b &=& \dfrac{ log_b b }{ log_b a } \ &=& \dfrac{1 }{ log_b a }~(\because log_b b=1 ) \end{eqnarray}$

となることも併せて覚えておきましょう。

次を計算しなさい。

$\begin{eqnarray} log_3 5 log_5 3 　 \end{eqnarray}$

logの底の変換公式を用いると

$\begin{eqnarray} (log_3 5) (log_5 3) &=& \dfrac{log_5 5}{ log_5 3} log_5 3 \ &=& \dfrac{1}{ log_5 3} log_5 3 \ &=& 1 \end{eqnarray}$

となります。

「数学Ⅱ　川中　宣明著　数研出版」