半角公式（サイン・コサイン・タンジェント）の証明：三角関数

2015/10/9 2016/3/5 三角関数, 数学, 数学Ⅱ

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半角公式（サイン・コサイン・タンジェント）

$\begin{eqnarray<em>}sin^2 \dfrac{\alpha}{2} &=& \dfrac{1-cos \alpha}{2} \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}cos^2 \dfrac{\alpha}{2} &=& \dfrac{1+cos \alpha}{2} \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}tan^2 \dfrac{\alpha}{2} &=& \dfrac{1-cos \alpha}{1+cos \alpha} \end{eqnarray</em>}$

これらの等式を三角関数の半角公式と呼びます。

半角公式（サイン・コサイン・タンジェント）の証明/ポイント

まず, sin と cos については加法定理から導くことができます。
この時, cosの加法定理を使うということが, この証明の大きなポイントです。(sin の加法定理では証明しにくいです)

$\begin{eqnarray<em>}cos(\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\alpha}{2}) \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}= cos\dfrac{\alpha}{2} cos\dfrac{\alpha}{2} -sin\dfrac{\alpha}{2} sin\dfrac{\alpha}{2} \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}= cos^2\dfrac{\alpha}{2} - sin^2\dfrac{\alpha}{2}\end{eqnarray</em>}$

ここで, $cos^2 A =1- sin^2 A$ もしくは $sin^2 A =1- cos^2 A$ より,
上の式に当てはめると各々,

$\begin{eqnarray<em>}cos \alpha &=& 1-2sin^2 \dfrac {\alpha}{2} \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}cos \alpha &=& 2cos^2 \dfrac{\alpha}{2} - 1\end{eqnarray</em>}$

と書けます。これを整理すると,

$\begin{eqnarray<em>}sin^2 \dfrac {\alpha}{2} =\dfrac{1-cos \alpha}{2}\end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}cos^2 \dfrac {\alpha}{2} =\dfrac{1+cos \alpha}{2}\end{eqnarray</em>}$

が導けます。

次にtan については,

$\begin{eqnarray<em>}tan^2 \dfrac {\alpha}{2}\end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}=\dfrac{ sin^2 \dfrac {\alpha}{2}}{ cos^2 \dfrac {\alpha}{2}}\end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}=\dfrac{\dfrac{1-cos \alpha}{2}}{\dfrac{1+cos \alpha}{2}} \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>}=\dfrac{1-cos \alpha}{1+cos \alpha}\end{eqnarray</em>}$

として, 導くことができます。

参考

「数学Ⅱ　川中宣明著　数研出版」

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