変数を含むベクトルの大きさの最大値・最小値問題のポイント：平面上ベクトル

• の形で表される、変数を含むベクトルの大きさの最大値や最小値を求める問題です。
• の値の変化を二次関数の最大・最小の考え方を利用して求め、その平方根をとります。

ベクトルの大きさの最大値・最小値問題の問題

,のとき、の最小値と、最小値をとるときのtの値を求めなさい。

ベクトルの大きさの最大値・最小値問題の解法の手順

1. の両辺を2乗して、内積を求めます。
2. を展開します。
3. 2で展開した式に1で求めた内積を代入して、の二次関数を導きます。
4. 平方完成をして、の二次関数の最小値を求めます。
5. 4で得られた最小値の平方根が、求めるベクトルの大きさの最小値となります。

ベクトルの大きさの最大値・最小値問題の解説

まずは与えられた条件式から、を求めます。

の両辺を2乗すると、

   

が得られます。これにを代入して、

   

整理して

   

と求められます。

に関しても、同様に2乗して内積を用いて表すと、

   

   

となります。

これに,と先に求めたを代入すると

   

   

となり、の二次関数が得られます。

この二次関数を平方完成すると

   

   

となるので、

はのとき最小値3をとります。

の最小値がなので、 より の最小値は

   

このときと求められます。

参考

チャート式　数研出版