logの底の変換公式:対数関数

スポンサーリンク

logの底の変換公式

a,b,c>0,a≠1,b≠1,c≠1 のとき,

\[\begin{eqnarray<em>} log_a b =\dfrac{log_c b}{log_c a} \end{eqnarray</em>}\]

が成立します。

logの底の変換公式の証明・ポイント

a^t=bを満たすtを二通りの表し方をすることで, 証明を作ります。 まず, logの定義から t=log_a b と書けます。

次に, 条件のcを底として a^t=b の両辺の対数をとると,

\[log_c a^t = log_c b\]

ここで, logの積の公式より,

\[log_c a^t = t log_c a\]

\[t log_c a = log_c b\]

\[\begin{eqnarray<em>} t =\dfrac{ log_c b }{ log_c a } \end{eqnarray</em>}\]

\[\begin{eqnarray<em>} log_a b =\dfrac{ log_c b }{ log_c a } \end{eqnarray</em>}\]

ここで特に, 公式でc=b とすると

\[\begin{eqnarray<em>} log_a b &=& \dfrac{ log_b b }{ log_b a } \ &=& \dfrac{1 }{ log_b a }~(\because log_b b=1 ) \end{eqnarray</em>}\]

となることも併せて覚えておきましょう。

logの底の変換公式の例題

問題

次を計算しなさい。

\[\begin{eqnarray<em>} log_3 5 log_5 3   \end{eqnarray</em>}\]

解答

logの底の変換公式を用いると

\[\begin{eqnarray<em>} (log_3 5) (log_5 3) &=& \dfrac{log_5 5}{ log_5 3} log_5 3 \ &=& \dfrac{1}{ log_5 3} log_5 3 \ &=& 1 \end{eqnarray</em>}\]

となります。

参考

「数学Ⅱ 川中 宣明著 数研出版」

スポンサーリンク

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする

スポンサーリンク