等差数列の和の公式：数列

2015/9/15 2016/3/5 数列, 数学, 数学Ⅱ

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等差数列の和の公式

初項 $a_1=a$ , 項数n, 末項 $a_n=b$ , を満たす等差数列 $a_1, a_2, a_3,a_4 \dots$ の和 $S_n$ は

$\begin{eqnarray<em>} S_n=\dfrac{1}{2} n(a+b) \end{eqnarray</em>}$

と書けます。

等差数列の和の公式の証明/ポイント

$S_n=\dfrac{1}{2} n(a+b)$

は次のようにして, 証明できます。

$\begin{eqnarray<em>} 2S_n \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} = S_n+ S_n \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} = a+(a+d) +(a+2d) +\dots \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} + (b-d)+b \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} +b+(b-d)+(b-2d)+\dots }\end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} +(a+d)+a \end{eqnarray</em>}$

$\begin{eqnarray<em>} = a+b\end{eqnarray</em>}$

$+{(a+d)+(b-d)}$

$+{(a+2d)+(b-2d)}+\dots$

$+(b-d)+(a+d)$

$+b+a$

$\begin{eqnarray<em>} = n(a+b) \end{eqnarray</em>}$

となるので, 後は両辺を2で割ると

$\begin{eqnarray<em>} S_n=\dfrac{1}{2} n(a+b) \end{eqnarray</em>}$

となり, 示したかった式が出てきます。

証明のやり方はたくさんありますが, 着眼点は最初の項と最後の項の和をとり, 次に最初から二番目の項と最後から二番目の項の和をとり, $\dots$ とペアーを作っていくことです。ただし, 注意すべきことは項数n が偶数か奇数かで場合分けがないようにすることです。

等差数列の和の例題

問題

初項1, 項数10, 末項 $a_{10}=20$ , を満たす等差数列の和 $S_n$ を求めなさい。

解答

等差数列の和の公式より

$S_n=\dfrac{1}{2} 10(1+20)=210$

となります。

参考

「新課程チャート式基礎からの数学Ⅱ＋B チャート研究所編著数研出版」

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