Sn（初項から第n項までの和）から一般項を求める際のポイント：数列

2016/3/2 2016/3/13 数列, 数学, 数学B

数列の第n項までの和を表す式から、数列の一般項を求める問題です。
$a_1=S_1$ から初項を求め、 $a_n=S_n-S_{n-1}$ から第2項以降の項を求めます。
初項と第2項以降の項で求め方が異なるので、この2つが一致するか否かを判断します。

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Snから一般項を求める問題

第n項までの和が $S_n=2^n+3$ で表される数列 ${a_n}$ の一般項を求めなさい。

初項から第n項までの和から一般項を求める手順

$S_n$ に $n=1$ を代入して、 $a_1=S_1$ を求めます。
$S_n-S_{n-1}$ を計算して、 $n \geqq 2$ のときの $a_n$ を求めます。
2で求めた $a_n$ に $n=1$ を代入して、1で求めた $a_1$ と比較します。

Snから一般項を求める問題の解説

まず、 $S_1$ は初項までの和なので初項 $a_1$ と等しくなります。よって、 $S_n$ に $n=1$ を代入することで、

$a_1=S_1=2^1+3=5$

が得られます。次に、 $n \geqq 2$ の場合、 $a_n$ は第 $n$ 項までの和から第 ${n-1}$ 項までの和を引くことで求められます。
$n\geqq 2$ のとき、

$a_n=S_n-S_{n-1}$

$=2^n+3-(2^{n-1}+3)$

$=2^n-2^{n-1}$

$=2\cdot 2^{n-1}-2^{n-1}$

$=(2-1)∙2^{n-1}$

$=2^{n-1}$

となります。最後に、 $n \geqq 2$ のときの $a_n$ に $n=1$ を代入し、先に求めた $a_1$ と比較します。
$2^{n-1}$ に $n=1$ を代入すると

$2^{1-1}=2^0=1$

となるので、
$a_n=2^{n-1}$ は $n=1$ のときには成り立たないことになります。このような場合は両方の式を記入し、
「 $a_1=5, n \geqq 2$ のとき $a_n=2^{n-1}$ 」のように答えます。

参考

数学B教科書　数研出版

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