Sn( 初項から第n項までの和)から一般項を求める際のポイント:数列

  • 数列の第n項までの和を表す式から、数列の一般項を求める問題です。
  • a_1=S_1から初項を求め、a_n=S_n-S_{n-1}から第2項以降の項を求めます。
  • 初項と第2項以降の項で求め方が異なるので、この2つが一致するか否かを判断します。

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Snから一般項を求める問題

第n項までの和がS_n=2^n+3で表される数列{a_n}の一般項を求めなさい。

初項から第n項までの和から一般項を求める手順

  1. S_nn=1を代入して、a_1=S_1を求めます。
  2. S_n-S_{n-1}を計算して、n \geqq 2のときのa_nを求めます。
  3. 2で求めたa_nn=1を代入して、1で求めたa_1と比較します。

Snから一般項を求める問題の解説

まず、S_1は初項までの和なので初項a_1と等しくなります。 よって、S_nn=1を代入することで、

\[a_1=S_1=2^1+3=5\]

が得られます。次に、n \geqq 2の場合、a_nは第n項までの和から第{n-1}項までの和を引くことで求められます。
n\geqq 2のとき、

\[a_n=S_n-S_{n-1}\]

\[=2^n+3-(2^{n-1}+3)\]

\[=2^n-2^{n-1}\]

\[=2\cdot 2^{n-1}-2^{n-1}\]

\[=(2-1)∙2^{n-1}\]

\[=2^{n-1}\]

となります。最後に、n \geqq 2のときのa_nn=1を代入し、先に求めたa_1と比較します。
2^{n-1}n=1を代入すると

\[2^{1-1}=2^0=1\]

となるので、
a_n=2^{n-1}n=1のときには成り立たないことになります。 このような場合は両方の式を記入し、
a_1=5, n \geqq 2のときa_n=2^{n-1}」 のように答えます。

参考

数学B教科書 数研出版

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